Fókuszban a mátrixok és operátorok: az SZTE Bolyai Intézete 2023. évi Szőkefalvi-Nagy Béla Érme Albrecht Böttcher professzoré

A modern matematikai analízis területére esik, de azon belül rendkívül szerteágazó Albrecht Böttcher tudományos munkássága. Az operátorelmélet kiemelkedő, vezető kutatója. Elsősorban a szinguláris integráloperátorok és a Toeplitz operátorok elmélete foglalkoztatja.

A MathSciNet adatbázisában több mint 2900 idézet található Albrecht Böttcher munkáira. Fotó: Zentai Péter

A Technische Universität Chemnitz professzor emeritusa új eredményeit két, a Szegedi Tudományegyetem patinás Acta Scientiarum Mathematicarum folyóiratában 2022-ben illetve 2023-ban megjelent dolgozatában közölte. E cikkek illetve eredmények elismeréseként idén a Szőkefalvi-Nagy Béla Érmet Albrecht Böttcher számára adományozta az SZTE Bolyai Intézet Tanácsa.

A kitüntetett Albrecht Böttcher professzor munkásságát Molnár Lajos, az SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék egyetemi tanára, az Acta Scientiarum Mathematicarum folyóirat főszerkesztője méltatta. Fotó: Zentai Péter

„Mátrixon mennyiségek téglalap alakú elrendezését szokás érteni. Azonos sor és oszlopszámú ún. négyzetes mátrixok között alapvető műveletek definiáltak, össze lehet őket adni illetve szorozni.

Mátrixok a matematika különböző területein és gyakorlati alkalmazásaikban széles körben lépnek fel. A véges négyzetes mátrixok mellett fontos szerepet játszanak azok végtelen sok sorral és oszloppal rendelkező analógjai, amiket a matematika egy ága ún. lineáris operátorokként kezel. A 120 éve született Neumann János ezekre fektette a kvantummechanika precíz matematikai alapjait” – magyarázta Molnár Lajos professzor. Az SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék egyetemi tanárát, az Acta Scientiarum Mathematicarum folyóirat főszerkesztőjét arra kértük, mutassa be röviden az Albrecht Böttcher professzor által művelt, az SZTE Acta Scientiarum Mathematicarum folyóiratban megjelent cikkeiben tárgyalt matematikai témaköröket.

Albrecht Böttcher professzor „Some highlights from the spectral theory of Toeplitz operators” címmel tartott előadást az SZTE Bolyai Intézetben

„A mátrixoknak, legyenek azok végesek vagy végtelenek, vannak bizonyos hasznos numerikus jellemzői, melyek közül legfontosabbak az ún. spektrális mennyiségek – folytatta magyarázatát Molnár Lajos professzor. – Alapvető és természetes kérdés, hogy adott végtelen mátrix esetén annak (pl. a bal felső sarkában található) n db sorból és oszlopból álló véges részmátrixa spektrális mennyiségei hogyan viselkednek az n növekedésével? Milyen esetekben és mennyire jól közelítik az eredeti végtelen mátrix spektrális jellemzőit? A kérdés jelentősége igen nagy: végtelen bonyolultságú rendszerre vonatkozó jellemzőket milyen esetekben és mennyire jól tudjuk közelíteni véges részrendszerek jellemzőivel? Böttcher professzor 2022-ben megjelent áttekintő cikkében (ami a szegedi Acta, az első Magyarországon kiadott nemzetközi matematikai folyóirat megalapításának 100. évfordulójára összeállított speciális számban jelent meg) az ún. pozitív definit Toeplitz-mátrixokra vonatkozó ilyen jellegű fontos eredményeket foglalt össze.”

„A 3-dimenziós Euklideszi térben egy-egy sík vagy egyenes kölcsönös pozíciója jellemezhető egyetlen numerikus mennyiséggel, a közöttük lévő szöggel. Magasabb, véges dimenzióban hasonló a helyzet, a különbség annyi csupán, hogy egy darab szög helyett szögek egy bizonyos véges rendszere írja le a kölcsönös elhelyezkedést. Végtelen dimenzióban a helyzet azonban teljesen más, sokkal bonyolultabb. Ott két darab végtelen mátrix segítségével történik a jellemzés. Böttcher professzor egy kutatótársával közösen írt, 2023-ban publikált cikkében a szóban forgó két mátrix által generált bizonyos matematikai struktúra algebrai tulajdonságait vizsgálta kimutatva azon tulajdonságok szoros összefüggését a kölcsönös elhelyezkedés geometriai jellemzőivel” – tudtuk meg Molnár Lajos professzortól, az az SZTE Acta Scientiarum Mathematicarum főszerkesztőjétől.

Az SZTE TTIK Bolyai Intézet vezetője, Fodor Ferenc professzor adta át a Szőkefalvi-Nagy Béla Érmet Albrecht Böttcher professzornak. Fotó: Zentai Péter

Az SZTE legendás professzorának, Szőkefalvi-Nagy Bélának (1913-1998), a matematikai analízis világhírű művelőjének a lánya, Szőkefalvi-Nagy Erzsébet díjat alapított édesapja emlékére. A rangos elismerést minden évben olyan kiváló matematikus kaphatja, aki az – egykor Szőkefalvi-Nagy Béla által is szerkesztett – Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged) folyóiratban magas szintű publikációs tevékenységet folytat.

Hagyomány, hogy a Szőkefalvi-Nagy Béla Érem első példányáról készült emléktáblát minden díjazott, így a 24. kitüntetett, Albrecht Böttcher is kézjegyével látta el. Fotó: Zentai Péter

Az SZTE TTIK Bolyai Intézet 1922-ben alapított kiadványa legutóbbi két kötetében Albrecht Böttcher két fontos dolgozatot közölt. A MathSciNet adatbázisában több mint 2900 idézet található Albrecht Böttcher munkáira, melyek közel 1500 szerzőtől származnak.

Albrecht Böttcher eredményei jelentősek az alábbi témakörökben: közelítési módszerek operátoregyenletek megoldására; nagy Toeplitz mátrixok determinánsainak és spektrális jellemzőinek aszimptotikus elmélete; a majdnem periodikus mátrixfüggvények faktorizálása; az erősen oszcilláló szimbólumú Toeplitz operátorok elmélete; rácsok és Toeplitz determinánsok; a két projekció által generált operátoralgebrák elmélete.

A 24. Szőkefalvi-Nagy Béla Érem átadó ünnepségen, 2023. november 10-én Albrecht Böttcher professzor „Some highlights from the spectral theory of Toeplitz operators” címmel tartott előadást az SZTE Bolyai Intézetben.

SZTEinfo

Fotó: Zentai Péter