Mindenki megtanítható a matematikára – PÍ-napot tartottak a Bolyai Intézetben

Obádovics Gyula, a legendás matematikus nevéhez fűződik a magyar számítástechnika-oktatás megteremtése, emellett 32 könyv, 30 egyetemi jegyzet és 58 tudományos publikáció szerzője. Az Obádovics név mára fogalommá vált: Matematika című könyve generációk számára jelentette az egyik legfontosabb alapművet a tantárgy elsajátításához. Olyannyira, hogy a diákok és tanárok egyaránt egyszerűen csak Obádovicsként emlegetik meghatározó szerepe miatt a matematika oktatásban. Az ikonikus professzor március 3-án ünnepelte 98. születésnapját. A rendezvényen fordulatokkal teli, gazdag életútjáról Birkás György matematikus beszélgetett vele.

Obádovics Gyula: A titok nyitja nem más, mint a szeretet

A beszélgetés március 15-e előestéjén, nemzeti ünnepünk alkalmából egy visszaemlékezéssel kezdődött, mely során felidézték a professzor személyes kötődését és családja történelmi kapcsolódásait a forradalom emlékéhez. Obádovics Gyula dédnagymamája ugyanis 10 éves volt az 1848-as szabadságharc idején. Mint a matematikatanár visszaemlékezett, sokat hallgatta az ő meséit arról az időszakról. Felidézte, egy Kossuth 5 pengőst őrzött mindig az imakönyvében, amit a legendás matematika professzor a mai napig megtartott. Az érme a szabadságharc és a nemzeti függetlenség jelképévé vált, ezért az Osztrák-Magyar Monarchia területén a szabadságharc leverését követően, akinél Kossuth-bankót találtak, megtorlásra, letartóztatásra, de akár még halálbüntetésre is számíthatott.

A professzor Baján, bunyevác családban nevelkedett, magyarul óvodáskorában tanult meg. Elmondása szerint ma is mélyen kötődik bunyevác gyökereihez. Édesapja kőműves volt világ életében, ezért elhatározta, fiát jó iskolába adja, hogy „legyen végre egy tanult ember is a családban”. Felidézte, 100 pengőbe került volna Baján a gimnáziumi beiratkozás. A nagyapja vitte be lovaskocsival, de mikor megtudta, hogy mennyit kellene érte fizetni, azt mondta, 80 pengőért már kaphatna egy tehenet, nem fog ennyi pénzt kifizetni csak azért, hogy a gyerek gimnáziumba járjon, így ehelyett 5 pengőért beíratta a polgári iskolába.

„Eredetileg nem akartam továbbtanulni, mert nagyapáim nyomdokaiba lépve mezőgazdasággal szerettem volna foglalkozni. Otthon akartam maradni, de apám azt mondta, 12 hold föld nem tart el engem is, és a bátyámat is, így vagy továbbtanulok, vagy bead inasnak valahova. Ez utóbbihoz nem volt kedvem, ezért elmentem az Állami Líceum és Tanítóképzőbe, ahová felvettek, s ahol le tudtam érettségizni” – idézte fel Obádovics Gyula. Mivel számos verset és regényt írt, nyelvész szeretett volna lenni. Azonban, mint kiderült, a felvételihez görög és latin érettségi is szükséges lett volna, melyekből –főleg a rövid felkészülési idő miatt – nem vállalta a különbözeti vizsgát. Kiderült azonban, ha matematika-fizika szakra jelentkezik, a reál tagozatos gimnáziumi érettségit is elfogadják, így alakult, hogy az irodalom helyett a matematika felé fordult érdeklődési köre. Egyetemi tanulmányait 1945-ben a Pázmány Péter Tudományegyetemen kezdte. Olyan ikonikus matematika professzorok óráit hallgatta, mint például Fejér Lipót, Kerékjártó Béla, Szász Pál, Turán Pál, Fejes Tóth László, Rényi Alfréd. Itt szerzett 1950-ben matematika-fizika szakos tanári diplomát.

Legendás könyvének az Obádovics néven híressé vált matematikai tankönyvnek a keletkezését is korábbi tanulmányai inspirálták. Ahogy a professzor elmesélte, tulajdonképpen középiskolás kora óta korrepetált másokat, majd öt éven keresztül írt jegyzeteket matematikából, melynek az volt a lényege, hogy „magyarra lefordítva”, a diákok által is könnyebben értelmezhető formában átadja tudását. Amikor a Műszaki Kiadó 1956-ban kiírt egy pályázatot középiskolai matematikai összefoglalóra, Obádovics Gyula 24 oldalban elküldte részükre matematikai jegyzeteit. Pályázata olyannyira jól sikerült, hogy végül ő kapta a lehetőséget a matematika tankönyv megírására. A mű azóta számos generáció bibliájává vált matematikai tanulmányaik során, jelenleg a 21. kiadásnál jár. „Tizenhétezer forintot kaptam az első kéziratért. Ez körülbelül egyéves akkori fizetésnek felelt meg. A százezredik példány megjelenésekor pedig a Kossuth-díjnál is nagyobb összeget kaptam. Ez azt jelentette, hogy 65 ezer forintba került akkoriban egy Skoda 445-ös autó, s azt meg tudtam venni. Az volt a második autó az egyetemen” – árulta el a professzor.

Obádovics Gyula professzor könyvét dedikálja a Bolyai Intézet PÍ-napján

A számok jól mutatják a legendás tanár matematika könyvének népszerűségét mind az oktatók, mind a diákok körében. Mint Obádovics Gyula hangsúlyozta, szerinte mindenkit meg lehet tanítani a matematikára a saját szakmájának megfelelő szinten. Az egyik legfontosabb alap ehhez az emberi kapcsolatok kialakítása. Ha nincs meg az összhang tanár és diák között, elbeszélnek egymás mellett, nem érhetik el a kívánt eredményeket sem.

Obádovics Gyula azonban nem csak a matematika terén alkotott maradandót. Igazi polihisztorként az irodalom iránti rajongása is mindig része maradt életének. Sámán Simon álnéven fikciós műveket alkot, míg nyugalomba vonulása után Julius J. Coach néven erotikus regényeket is megjelentetett. Mint ez utóbbiról elárulta, az első ilyen jellegű regényét – ami a Kollégiumi esték címen jelent meg – fogadásból két hét alatt írta meg. A történetet kollégiumi emlékei inspirálták, a könyvben ugyanis öt akkori hallgató társa katonaemlékeit vetette papírra. Sőt, a legendás professzor a sportok terén is bebizonyította, ha az ember igazán akar valamit, nincs lehetetlen. Obádovics Gyula 97 évesen országos bajnok lett az atlétikai szenior százméteres síkfutás versenyen 95+-os kategóriában.

A beszélgetés végén Obádovics Gyula arról is szólt, mi a hosszú élet titka. „Hatéves korom óta dolgozom és vörösbort iszom” – hangzott először humorosan a legendás matematika professzor válasza. „Komolyra fordítva a szót, a titok nyitja nem más, mint a szeretet: hogy képes legyél szeretni, átadni ezt az érzést, és viszonzásul te is megkapd. Úgyhogy én azt mondom, igazán szeressük egymást!” – zárta gondolatait a professzor.

Dr. Nagy Gábor Péter: A biztonság ára: egymillió dollárnap és egy kis matematika

A gonosz postással küldött üzenetek nem biztos, hogy eljutnak a címzetthez, illetve sérülten kerülhetnek kézbesítésre. Dr. Nagy Gábor Péter, az SZTE Bolyai Intézet tanára, az esemény első előadója Bob és Alice (a kriptográfia két állandó szereplője) üzenetváltásainak példáján keresztül mutatta be a kiberbiztonság, azaz az internetes biztonság témáját; előadásának címe A biztonság ára: egymillió dollárnap és egy kis matematika volt.

Bruce Schneier kriptográfiai szabályai szerint kétféle üzenetfeltörés lehetséges: amikor a kishúga olvassa el az ember üzenetét, vagy amikor nagy országok kormányai teszik ezt. Az előadó ez utóbbiakra, a katonai és üzleti célokból való titkosítási eljárásokra helyezte a hangsúlyt; ezek az eljárások a 19. századtól tudományos alapokon nyugszanak.

Alice és Bob rejtjelezett üzenetváltása egy nyílt szöveggel kezdődik, amelyet Bob egy kulcs segítségével rejtjelező eljárással rejtjelezett szöveggé alakít, majd a visszafejtés is egy kulcs segítségével történik. Ha a rejtjelező és a visszafejtő kulcs ugyanaz, akkor szimmetrikus a kriptográfia, vagyis a titkosítás. Ennek az a hátránya, hogy a kommunikáló feleknek előre meg kell állapodniuk a kulcsban. Ebben az esetben előfordulhatnak támadások, és történhet feltörés és szivárgás; ezek az aszimmetrikus (nyilvános) kulcsú kriptográfiánál a gyakorlatban nem történhetnek meg. Az aszimmetrikus kulcsú titkosítást RSA-nak hívják, biztonsága pedig azon múlik, hogy tudunk-e több száz számjegyből álló számokat prímtényezőkre bontani. A biztonságos rendszerek létrehozásához tehát számítások szükségesek, ezek elvégzéséhez pedig nagy számítógépes kapacitás kell, amit drágán, dollárért lehet vásárolni, erre utal Dr. Nagy Gábor előadásának címe is.

Dr. Nagy Gábor Péter előadása a kiberbiztonságról

Egy jó kiberbiztonsági rendszer a Kerckhoff-féle alapelvek alapján visszafejthetetlen, hordozható, a Morse-táviratos kommunikációban használható, kulcsa pedig rövid és könnyen továbbítható.

Az angol nyelv megkülönböztet safety-t és security-t, attól függően, hogy milyen típusú támadás elleni védelemről beszélünk. A safety az üzenetek véletlen elvesztése (Nagy Gábor példája szerint a figyelmetlen postás a kávéba ejti a pendrive-ot), a security pedig a gonosz postás ellen véd, aki szándékosan támadja a kommunikációt.

Nagy Gábor Péter az előadás során kiemelte, érdemes arra is figyelni, hogy mely üzeneteket titkosítsuk, a második világháborúban ugyanis a britek azért fejtették meg a németek titkosított üzeneteit, mert azok reggelente – ráadásul mindig azonos időpontban – az időjárás-jelentést is rejtjelezve küldték.

Dr. Vígh Viktor: Az elemi geometria nehéz

Az elemi geometria nehéz – jelentette ki előadásának címében Dr. Vígh Viktor matematikus, egyetemi docens (SZTE TTIK Bolyai Intézet Geometria Tanszék).

A cím annyira nem is clickbait jellegű, hiszen egy valós helyzetre hívja fel a figyelmet, miszerint a mesterséges intelligenciára alapozott számítógépes megoldások nehezebben boldogulnak az elemi geometriai feladatokkal, mint más matematikai problémákkal.

Ehhez Vígh Viktor először egy Thálész-tétellel megoldható geometriai feladatot vizsgált, amelyben azt kellett igazolni, hogy három pont egy egyenesen helyezkedik el; a feladat nehézségi szintje a középiskolás olimpiák belépő szintjét érte el. A problémáról Vígh Viktor megkérdezett három ingyenes AI chatbotot is; a Chat GPT3, a DeepSeek és a Gemini egyformán hallucinációk alapján, matematikailag inkorrekt módon indokolta a bizonyítást. A matematikus ezután kipróbálta a fizetős verziókat is, de az Open AI o1 sem oldotta meg a problémát; a DeepSeeknek és a Gemininek még ráadásul sokáig is tartott a művelet, és előbbi bekamuzta a megoldást, utóbbi pedig bevallotta, hogy nem boldogult. Vígh Viktor szerint a két utóbbi ettől függetlenül sok jó észrevételt tett a problémára, míg az Open AI o1 csak a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 5 pontos feladatainak szintjéig boldogult.

Vígh Viktor a nagy nyelvi modellek után általa speciális megoldó „automatáknak” nevezett két módszert is tesztelt az elemi geometria feladatainak gépi megoldásához. Az első típusú gépi megoldás algebrát, polinomiális egyenleteket használt; ennek elméletileg garantált volt az eredménye, de a munka nagyon gépigényesnek bizonyult. Az előadó egy, a GeoGebra szoftverben Kovács Zoltán matematikus által megoldott problémát mutatott be („Egy nemtriviális geometriai tétel nemtriviális számítógépes megoldása”, megj. a Poygon 27 No 1. 2024 lapszámban). A polinomiális kifejezés, amely az alapállítást igazolta, 865 oldal hosszú volt és 5 milliónál is több karakterből állt; ennek ellenére a futási idő egy asztali gépen csak 8-10 másodpercig tartott.

Ezen a ponton Vígh Viktor bejelentette, hogy 3:14 perc, vagyis Pí-időpont van.

A másik gépi megoldási irány a szintetikus megoldó módszereké, amelyek az emberi felismerést ötvözik a nyelvi modellek javaslatait felhasználó szimbolikus modellekkel: amikor az emberi megérzések kimerültek, a módszer akkor kér javaslatot a nagy nyelvi modelltől, a következtetéseket pedig a szimbolikus modell vonja le. Ezt az eljárást Vígh Viktor az AlphaGeometry nevű mesterséges intelligenciára alapozott szoftverrel mutatta be; ezt a megoldási motort nehéz elemi geometriai feladatok megoldására fejlesztették, tudása pedig a matematikai olimpiák érmeseinek felel meg. A szoftver kimenetében ez esetben is szövegesen, követhetően olvashatók el a megoldás lépései.

Vígh Viktor előadás az elemi geometria problémáinak gépi megoldásáról

Vígh Viktor végül a mozgópontos módszernek nevezett eljárást is bemutatta egy elemi geometriai feladat gépi megoldására, és ez a módszer jóval célravezetőbbnek bizonyult. Végső következtetése szerint a mesterséges intelligenciát használó megoldó motorok, bár kevés adatból tanulhatnak (az integrálással például sokkal jobban boldogulnak), a középiskolai elemi geometriai feladatokat könnyűszerrel megoldják, gyors fejlődésük pedig előre nem látható eredménnyel jár majd.

A PÍ-napon Dr. Németh József ny. c. egyetemi tanár (Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet, Analízis Tanszék) a PÍ különböző előállítási módjait vizsgálta meg végtelen sorozatok segítségével. Ugyancsak sorozatok segítségével mutatta be Dr. Kevei Péter egyetemi docens, az SZTE TTIK Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék vezetője a zsonglőrködéskor feldobott tárgyak pozícióját és egymásutániságát

Fülöp Tímea, Balog Helga, Panek Sándor

A borítóképen: Obádovics Gyula matematikaprofesszor. Fotó: Birkás György