A differenciálegyenletek és a változó világ – Dr. Krisztin Tibor és Dr. Röst Gergely a Bolyai Intézet 44 éves konferenciájáról

Huszonegy ország 55 kutatóhelyének matematikusaitól több mint 100 előadás hangzott el június 19. és 23. között az SZTE Bolyai Intézetének A differenciálegyenletek kvalitatív elmélete (Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations) című 4 évente megrendezett matematikai konferenciáján. Az ötnapos előadássorozat a nemzetközi differenciálegyenletes közösség várt eseményeinek egyike. 1979-ben Dr. Hatvani László akadémikus, egyetemi tanár szervezte meg először, a legelső ülésszakot Szőkefalvi-Nagy Béla akadémikus nyitotta meg a Bolyai Intézetben. Dr. Hatvani László volt az első hat konferencia szervezőbizottsági elnöke, egészen 2003-ig, amikor Dr. Krisztin Tibor akadémikus, egyetemi tanár vette át a szervezést a következő 6 konferenciára.

Az idei konferenciát a Dr. Röst Gergely vezetésével működő Egészségbiztonság Nemzeti Laboratórium támogatásával és kutatóinak aktív részvételével rendezték. A járványmodellezési kutatásokról ismert matematikus elmondta, hogy a konferencia előadásai új tudásanyaggal bővítették a differenciálegyenleteket mindennapi szinten használó járványügyi modelleket. Az Egészségbiztonság Nemzeti Laboratórium kutatásairól 15 előadást prezentáltak a nemzetközi plénum előtt. Dr. Krisztin Tibor kiemelte, hogy kevés ilyen nagy múltra visszatekintő, egy intézetben megrendezett konferenciasorozat van ezen a kutatási területen. 44 éve a differenciálegyenletek kvalitatív elméletének vezető kutatói vesznek részt a rendezvényen. Speciálisan az időkésleltetést tartalmazó differenciálegyenletek elméletének egyik legfontosabb eseményévé vált a konferencia. Ez egyértelműen a szegedi differenciálegyenletes iskola munkájának a nemzetközi elismertségét jelenti.

Beszélgetés Dr. Röst Gergely és Dr. Krisztin Tibor matematikusokkal. Fotó: Kovács-Jerney Ádám

A konferencia címében szereplő differenciálegyenletek olyan időben változó folyamatokat írnak le, amelyek egyformán jellemezhetnek mechanikai mozgásokat, biológiai folyamatokat vagy kémiai reakciókat, közgazdasági mechanizmusokat vagy a járványok terjedésének fejlődési folyamatait. A differenciálegyenletek kvalitatív elmélete pedig ezeknek az egyenleteknek a közös absztrakt természetét vizsgálja. Innen ered a kvalitatív elmélet kettős sajátossága is: egyfelől a differenciálegyenleteknek leíró képességük miatt sokféle jelenséghez és gyakorlati alkalmazáshoz van közük, másfelől pedig mélyen és sokrétűen absztrakt matematikai modellek, értelmezések, variációk, sejtések következnek belőlük.

Érdekes megérteni, hogy ezt a kettősséget hogyan ragadják meg a terület matematikusai. Hatvani László professzor 1993-ban így nyilatkozott az akkori Délmagyarországnak: „A múlt században úgy gondolták, hogy a differenciálegyenletek fejlődése oda tart, ahol mindegyiket - néhány „csúnyább" kivételével - meg lehet majd oldani. Kiderült azonban, hogy ez egyáltalán nem így van. A legtöbb esetben nem írható fel elemi függvényekkel a megoldás. Így azt a feladatot kellett kitűzni, hogy akkor ne a pontos függvényt keressük, hanem csak arra kérdezzünk rá, hogy milyen tulajdonságai lesznek a megoldásának.”

Krisztin Tibor professzor szavaival pedig így hangzik: - A differenciálegyenletek kvalitatív elmélete a megoldások tulajdonságait vizsgálja anélkül, hogy megoldaná azokat. A megoldások geometriai, topológiai, algebrai tulajdonságait kutatja felhasználva a matematikai módszerek szinte teljes tárházát. Ezzel szemben a kvantitatív elmélet a megoldások előállítását tűzi ki célul vagy azokat közelíti. A két megközelítés nem válik el egymástól, sokszor egymást kiegészítve, erősítve adnak információt egy valós jelenséget leíró modellről. Gyakran kvantitatív eredmények, például számítógép alkalmazásával kapott közelítések a kiindulópontjai a kvalitatív vizsgálatoknak.

Dr. Krisztin Tibor matematikus. Fotó: Kovács-Jerney Ádám

Röst Gergely szavaival ugyanez: - Differenciálegyenletek megoldásával kiszámolhatjuk például egy adott égitest pályáját, ebben a számítógép is segít. Sokszor azonban nemcsak egy adott esetről, hanem az összes lehetséges mozgásról együtt szeretnénk megtudni valamit, vagy bizonyos mozgások tulajdonságait szeretnénk feltárni, mondjuk, hogy stabilak-e. Ilyenkor segít a kvalitatív elmélet, ami ehhez matematikai struktúrákat és eszköztárat biztosít. Itt már nem elég a számítógép, hanem emberi kreativitásra is szükség van.

Ami az alapkutatások felhasználhatóságát illeti, Hatvani László már 1993-ban biztos volt abban, hogy a tudományterület nem fog kifogyni a hasznos témákból. „Minden tudomány olyan, hogy minél több eredményt ér el, annál több nyitott kérdése lesz” – nyilatkozta 30 évvel ezelőtt a ma már nyugalmazott akadémikus.

A differenciálegyenletek kvalitatív kutatása gyakran más tudományágak gyakorlati problémáihoz nyújt eszközöket. A konferenciának erről a vonásáról Dr. Röst Gergely megjegyezte: az előadásokban jól megfigyelhető volt, ahogyan a teljesen elméleti eszközök, amelyeknek önmagukban is matematikai jelentősége és matematikai szépsége van, releváns eszközökké válnak az alkalmazásokban. A szegedi matematikus „Newtontól a Covidig, Rieszen át” címmel tartott előadást, amelyben a differenciálegyenletekhez kapcsolódó elméleti tudás hasznosulását is szemügyre vette:

- Riesz Frigyes egyik híres tétele, a Riesz reprezentációs tétel 1909-re datálódik, több mint 100 éves. Elméleti matematikai tételként már születésekor fontos eredmény volt. Napjainkban pedig hasznos szerepe van több bonyolult járványterjedési modellben, például a járvány reprodukciós számának pontos meghatározásában. Pedig az első járványmodell 1927-ben keletkezett, korábban nem is létezett ilyen alkalmazási terület, így Riesz Frigyes egyáltalán nem gondolhatott arra, hogy a tételt majd egyszer így is alkalmazni fogják. A mi konferenciánknak is központi témái voltak azok a kutatások, amelyek matematikai motivációból indultak, első ránézésre teljesen elméletinek tűnnek, mégis átkerülnek az alkalmazásokba. Az elmélet és az alkalmazások teljes spektruma megjelent az előadásokban – fejtette ki Dr. Röst Gergely.

Dr. Röst Gergely matematikus. Fotó: Kovács-Jerney Ádám

A differenciálelméletek kvalitatív kutatásának mégsem csak az alkalmazások adják a hajtóerejét, hanem az is, hogy egy-egy felfedezett összefüggésnek matematikai szépsége van. Dr. Krisztin Tibor szerint a matematikában az alapkutatások egy részét az intellektuálisan érdekes, a matematika belső szépsége által motivált problémák kutatása adja. Egy eredményt nem pusztán a hasznossága, hanem a szépsége is érdekessé tehet.

A megkérdezett matematikusok egyetértettek abban is, hogy a differenciálegyenletek teljesebb megértése tudományos előrejelzéseket eredményezhet; az egyenlet azonban még ismert állapotában is tartogat újat. - Sokszor történik, hogy fölírunk egy egyenletet valamilyen jelenség modellezésére. Az egyenlet megadásával azonban még messze vagyunk attól, hogy tudnánk, értenénk a megoldásai viselkedését. Sokszor évek, évtizedek kellenek egy-egy konkrét differenciálegyenlet kvalitatív tulajdonságainak a leírásához. A konferencián több előadás is elhangzott olyan egyenletekről, amelyekről sok matematikus gondolhatta, hogy már mindent tudunk. Bernold Fiedler (Free University, Berlin) egy parabolikus egyenletben, míg doktorandusza, Alejandro López Nieto egy késleltetett visszacsatolást modellező egyenletben volt képes további eddig rejtett struktúrákat felfedezni – mondta Dr. Krisztin Tibor.

A kérdésre, hogy a rejtett mélységű egyenletekkel kapcsolatos kutatásokat egyformán értik-e a matematikusok, Dr. Röst Gergely így felelt:

- A konferencián amerikai kollégánk, Benjamin Kennedy, a Gettysburg College matematikusa fölírt egy integrálos tagokat tartalmazó differenciálegyenletet az előadása elején, és azt mondta, bárcsak jobban értené ezt az egyenletet. Van-e még itt valaki, aki ugyanígy érez? – kérdezte a hallgatóságot. És igen, mi egymástól nyolcezer kilométerre lakunk, és csak pár évente futunk össze konferenciákon, de én is sokat gondolkodtam ugyanazon az egyenleten, és én is úgy gondoltam, bárcsak jobban érteném. Van ilyen kapcsolódás: függetlenül attól, hogy ki hol él, milyen közegben van, a gondolkodásunk a matematikán keresztül mégis közösen zajlik.

A differenciálegyenletek kvalitatív elmélete konferencia nemzetközi közönsége. Fotó: Kovács-Jerney Ádám

Bár a matematika értékei szerencsésen állandóak, az első konferencia azért mégiscsak különbözött a mostanitól. Dr. Krisztin Tibor 1979-ben hallgatóként vett részt a Bolyai Intézetben tartott előadásokon:

- Az első konferenciáink jelentősége abban is állt, hogy a keleti blokk kutatói itt találkozhattak a nyugati matematikusokkal, egyfajta híd szerepet töltöttünk be. Egymástól elszigetelten működtek kutatók, intézetek, a publikációk sem voltak könnyen elérhetők. A felmerülő problémák azonban ugyanazok vagy nagyon hasonlók voltak. Izgalmas volt megismerni a különböző vagy közel azonos megközelítéseket. Sokan azzal is szembesülhettek, hogy eredményüket a világ másik felében már rég felfedezték.

A konferencián megemlékeztek a Bolyai Intézet fiatalon elhunyt tehetséges matematikusáról, Vas Gabrielláról (1983-2021). Az emlékének ajánlott két szekcióban a szakterületén elért legújabb eredmények hangzottak el, illetve kollégái a vele elkezdett, halála után is folytatott közös kutatásaikról számoltak be. Többen említették azt a tulipán-szerű, a dinamikus rendszerek elméletében egyedi, különlegesen szép geometriai alakzatot, egy úgynevezett attraktort, amely Vas Gabriella - témavezetőjével elért - legszebb eredménye.

Panek Sándor

A borítóképen: A differenciálegyenletek kvalitatív elmélete konferencia a Bolyai Intézetben. Fotó: Kovács-Jerney Ádám