Informatikai Tanszékcsoport

Informatikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A tárgy oktatásának lényege, hogy $&92;varepsilon,&92;delta$ nélkül, a határérték szemléletes fogalmára építve foglalkozzon a differenciál- és integrálszámítással. A szemléletes fogalom felhasználásával tárgyaljuk az alapvető függvények differenciálhányadosait, integrálját. Szóba kerülnek a középértéktételek, függvénydiszkusszió és végül a trigonometrikus, az exponenciális és logaritmusfüggvény differenciálhányadosa. Az a cél, hogy a hallgató ilyen bevezetést is lásson, ha ez a középiskola egyes osztályaiban valóban előjön.

Ajánlott irodalom

1. Most még szigorúan a tárgyhoz tartozó magyar nyelvű irodalom nincsen, felhasználható: Szász Pál, A differenciál- és integrálszámítás elemei, I-II.
2. Nem magyar nyelvű könyv: L. Sz. Pontrjagin, Analiz beszkonyecsno malik, Nauka, 1980.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A kurzus a nevezetes egyenlőtlenségek néhány bizonyításával és ezen egyenlőtlenségek többé-kevésbé egyszerű, illusztráló feladatok megoldásában való alkalmazásával foglalkozik. Az alábbi egyenlőtlenségek tárgyalására kerül sor:
Bernoulli-egyenlőtlenség; Számtani-, mértani- és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség; Hatványközépre vonatkozó egyenlőtlenségek; Csebisev-egyenlőtlenség; Cauchy-egyenlőtlenség; Jensen-egyenlőtlenség.

Ajánlott irodalom

1. Ábrahám Gábor, Nevezetes egyenlőtlenségek, Mozaik, 1995.
2. Hódi Endre, Szélsőérték-feladatok elemi megoldása, Tankönyvkiadó, Budapest, 1963.
3. Késedi Ferenc, Egyenlőtlenségek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1969.
4. N.D. Kazarinoff, Geometriai egyenlőtlenségek, Gondolat, 1980.
5. G.H. Hardy-J.E. Littlewood-G. Pólya, Inequalities, Cambridge, Univ. Press, 1952.
6. P.P. Korovkin, Egyenlőtlenségek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Elemi módszerekkel, differenciálszámítás nélkül megoldható szélsőérték feladatok. A számtani és mértani közép alkalmazása szélsőértékfeladatok megoldására. Geometriai szélsőértékproblémák. A lineáris programozás elemei. A KÖMAL, valamint a Kürschák Versenyek e témához tartozó feladatainak tárgyalása.

Ajánlott irodalom

1. KÖMAL, Kürschák Versenyek feladatai (több kötetben), Arany Dániel és Középiskolai Tanuló Versenyek,
2. Hódi Endre, Szélsőértékfeladatok elemi megoldása,
3. D.D. Skljarszkij-N.N. Csencov-I.M. Jaglom, Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből II. rész, 2. kötet Geometriai egyenlőtlenségek és szélsőérték-feladatok, Tankönyvkiadó, 1973.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Az előadásban elsősorban kombinatorikai és kombinatorikus geometriai egyenlőtlenségekkel foglalkozunk. Arra törekszünk, hogy a feladattal kapcsolatban a hallgatók tegyenek fel olyan kérdéseket, amelyek a problémákhoz tartoznak, így annak igazi kifejtését elősegítik. Az előadásban különös figyelmet fordítunk az elmúlt évek matematikai versenyein a témában előfordult feladatoknak.

Ajánlott irodalom

1. Kosztolányi J.-Makay G.-Pintér K.-Pintér L.: Matematikai problémakalauz I., Polygon, 1999.
2. Hajnal P.: Elemi kombinatorikai feladatok, Polygon, 1997.
3. D.O. Skljarszkij-N.N. Csencov-I.M. Jaglom, Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből II. rész, 2. kötet Geometriai egyenlőtlenségek és szélsőérték-feladatok, Tankönyvkiadó, 1973.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A törtekkel való számolás technikája az egyiptomi középbirodalom korában. Pitagoraszi számhármasok az ókori Mezopotámiában: a Plimpton 322-es agyagtábla.
A középkori iszlám tudósok számelmélete. Határozatlan egyenletek, négyzetszámokkal kapcsolatos kérdések a pisai Leonardo Liber Abaci és Liber Quadratorum c. könyveiben.
A komplex szám fogalmának kialakulása a XVIII. században. Hamilton kvaterniói. Transzcendens számok létezésének fölvetése, az első példák. Valamely nevezetes konstans (az $e$ vagy a $&92;pi$) transzcendens voltának elemi bizonyítása.
Ramanujan munkásságának egy-két vonása.
Hilbert VII. problémájának (bizonyos számok transzcendens volta) és megoldásának ismertetése.

Ajánlott irodalom

1. Freud R. (szerk.): Nagy pillanatok a matematika történetéből, Gondolat, 1981.
2. A. P. Juskevics: A középkori matematika története, Gondolat, 1982.
3. M. Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1979, 1990.
4. O. Neugebauer: Egzakt tudományok az ókorban, Gondolat, 1984.
5. B. L. van der Waerden: Egy tudomány ébredése, Gondolat, 1977.
6. B. L. van der Waerden: A History of Algebra, Springer, 1985.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

I. Egyenlőtlenségek a háromszögben: a háromszög-egyenlőtlenség, a sugáregyenlőtlenség, trigonometrikus egyenlőtlenségek. az Erdős-Mordell-egyenlőtlenség, a talpponti háromszög minimumtulajdonsága, nevezetes pontok szélsőérték-tulajdonságai, a háromszög izoperimetrikus tételei, a félkerület négyzetével kapcsolatos egyenlőtlenségek.
II. Szélsőérték-problémák a sokszögek körében, sokszögek izoperimetrikus tételei.
III. Tetraéder egyenlőtlenségek.
IV. Térbeli izoperimetrikus tételek.
V. Különféle testekkel kapcsolatos szélsőértékproblémák.

Ajánlott irodalom

1. Nicholas D. Kazarinoff: Geometriai egyenlőtlenségek, Gondolat Kiadó, Budapest, 1980.
2. D. O. Skljarszkij - N. N. Csencov - I. M. Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből 2/2, Geometriai egyenlőtlenségek és szélsőérték-feladatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.
3. Reiman István: Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft., Kisújszállás, 1999.
4. Major Zoltán: Egy izgalmas szélsőérték-feladat család, Szignatúra Kft., Szombathely, 1993.
5. D. S. Mitrinovic - J. E. Pecaric - V. Volence: Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, 1989.
6. Kosztolányi József - Makay Géza - Pintér Klára - Pintér Lajos: Matematikai problémakalauz I., POLYGON Kiadó, Szeged, 1999.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Természetes számok: Peano-axiómák. Műveletek definíciója és tulajdonságai. Rendezés, műveletek monotonitása.
Egész számok: a természetes számok félgyűrűjének differenciagyűrűje. Rendezés, műveletek monotonitása.
Racionális számok: az egész számok gyűrűjének hányadosteste. Rendezés, műveletek monotonitása.
Valós számok: a racionális számtest limeszteste. Rendezés, műveletek monotonitása. Teljes metrikus tér.
Komplex számok: a komplex számtest megadásának lehetőségei. Algebrai- és transzcendens számok. Valamely nevezetes konstans (pl. $e$ vagy $&92;pi$) transzcendens voltának igazolása.
A valós és komplex számkör bővítésének lehetőségei: végesrangú algebrák, Frobenius tétele.

Ajánlott irodalom

1. Csákány Béla: Algebra, Tankönyvkiadó 1974.
2. Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.
3. Szendrei János: Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, 1975.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A feladatok kapcsán tárgyaljuk a közönséges differenciálegyenletek elméletéből az egyes feladatok megoldásához szükséges ismereteket (a kezdetiérték-probléma megoldásának létezése, egyértelműsége, stabilitása; a lineáris rendszerekre vonatkozó alapismeretek, kvalitatív vizsgálatok). Harmonikus rezgőmozgás, radioaktív bomlás, elektromos áramkörök, rezgőkörök, populációk együttélésének differenciálegyenletes modelljei.

Ajánlott irodalom

1. Hatvani László-Pintér Lajos: Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, 1997.
2. K.K.Ponomarjov, Differenciálegyenletek felállítása és megoldása, Tankönyvkiadó, 1969.
3. M.Braun, Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag, 1975.
4. H.Kocak, Differential and Difference Equations through Computer Experiment, Springer-Verlag, 1986.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A mértani sor, a harmonikus sor, a pozitív természetes számok négyzeteinek reciprokaiból álló sor. Ezekkel kapcsolatos bizonyítások, érdekes tulajdonságok.
Nevezetes számok ($&92;sqrt{2},e,&92;pi$, a Liouville-szám) tulajdonságainak vizsgálata végtelen sorokkal. Hatványsorok, Fourier-sorok, általános függvénysorok, alkalmazások néhány érdekes függvénytani vizsgálatra (pl. sehol sem differenciálható, mindenütt folytonos függvény).
Feladatok a numerikus és hatványsorok, Fourier-sorok köréből. A végtelen sorokkal kapcsolatos történeti áttekintés az ókortól napjainkig.

Ajánlott irodalom

1. Leindler László, Analízis, Polygon, Szeged, 2001.
2. Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Polygon, Szeged, 2002.
3. Németh József, Előadások a végtelen sorokról, Polygon, Szeged, 2002.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

I. Numerikus módszerek:
1.) Technikai részletek: pontosság (statikus vagy dinamikus adatábrázolás, adattípus, kerekítés), programozási nyelv (C, Pascal, Mathlab/Octave), vezérlési szerkezetek (szekvenciális, szelekciós, ismétléses), operációs rendszer.
2.) Sorozatok határértékei:
a) Sorozatok határértékeinek megsejtése (sorozatok; rekurziók; sorok, hatványsorok, Fourier-sorok).
b) Hogyan működik a számológép? Elemi függvények numerikus előállításai ($&92;sin x ,&92; &92;cos x,&92; e^x,&92; &92;ln x$).
c) Nevezetes konstansok előállításai, konvergencia-sebesség ($&92;pi,&92; e$, Newton-féle gyökvonó algoritmus).
d) Konvergencia-sebességen alapuló fraktálok: Newton-fraktál, Mandelbrot-halmaz.
e) Közelítő integrálás (téglalapformulák, trapézformula, Simpson-formula).
3.) Függvényábrázolás (egy- és többváltozós), függvényanalízis (gyökkeresés, szélsőértékek meghatározása), kétváltozós függvény deriválhatósága (totális, iránymenti, parciális).
4.) Differenciálegyenletek.
II. Komputeralgebrai módszerek:
1.) A komputeralgebrai és a numerikus módszerek összehasonlítása (számábrázolás, alapműveletek, igaz/hamis/ismeretlen, elemi függvények kiértékelése, tanítás; vezérlési szerkezetek), Maple/MuPAD/Maxima.
2.) Mesterséges intelligencia, heurisztikák, fuzzy logika; evolúció?
3.) Függvényarzenál: elemi függvények, zérushely-meghatározás (solve), határérték (limit), deriválás (diff), sorbafejtés (taylor), integrálás (int), interpoláció (lagrange, linsolve), szummáció (sum), speciális függvények (zeta, gamma, psi).
4.) Numerikus módszerek: pontosság megadása (DIGITS), közelítő gyökkeresés (numeric::solve), differenciálegyenletek megoldása (numeric::odesolve), közelítő integrálás numeric::int).

Ajánlott irodalom

1. Móricz F.: Numerikus analízis I., 5-22. o.
2. Analízis I. példatár (szerk.: Németh József), Számsorozatok konvergenciája
3. Leindler L.: Analízis, Polygon, 2001.
4. D.E. Knuth: A számítógép-programozás művészete 2., 472-475. o.
5. J.M. Borwein, P.B. Borwein: Pi and the AGM, John Wiley, New York, 1987
6. Móricz F.: Numerikus módszerek az algebrában és az analízisben, 129-137., 45-48., 60-61.o.
7. Szendrei J.: Algebra és számelmélet, 353-359. o.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A kurzus keretében Pólya György heurisztikus problémamegoldási modelljének Alan H. Schoenfeld által módosított (részletezett) változata alapján zömében középiskolás módszerekkel is megoldható feladatokat, problémákat tárgyalunk az egyes problémamegoldási stratégiáknak, módszereknek megfelelő csoportosításban.
A kurzus célja az egyes stratégiák megismertetésével a problémamegoldási készség fejlesztése.
1. Vizsgáljunk speciális eseteket!
a) A feladatra közvetlenül megoldást kapunk speciális értékek behelyettesítésével.
b) A konkrét példa világossá teszi a feladatot, megteremti egy új, más irányú megközelítés lehetőségét.
c) A határesetek vizsgálata révén rögzíthetjük a lehetőségek tartományát.
d) Ha a probléma jellege olyan, konkrét természetes számok behelyettesítésével induktív következtetéseket fogalmazhatunk meg, rekurziót alkalmazhatunk. Teljes indukciós bizonyítások különböző típusai: nem egyet lépünk, visszafelé lépünk, több változó szerinti teljes indukció, dimenziószám szerinti teljes indukció. Végtelen leszállás módszere (lehetetlenségi bizonyítások).
e) Ellenpéldát találhatunk.
2. Vizsgáljuk a problémát kevesebb változóra!
a) A kevesebb változó esetén kapott eredmények felhasználhatók az eredeti probléma megoldása során.
b) A kevesebb változót tartalmazó probléma megoldási módszere működik több változóra is.
c) A változókat egy kivételével rögzítve a nem rögzített változó szerepe vizsgálható.
3. Készítsünk ábrát!
4. Következtessünk visszafelé!

Ajánlott irodalom

1. Arthur Engel: Problem-Solving Strategies, Springer-Verlag, 1998.
2. Loren C. Larson: Problem-Solving Through Problems, Springer-Verlag, 1983.
3. Alan H. Schoenfeld: Problem-Solving in the Mathematics Curriculum, The Mathematical Association of America, 1983.
4. Alan H. Schoenfeld: Mathematical Problem Solving, Academic Press, Inc., 1985.
5. Pólya György magyarul megjelent könyvei
6. Kosztolányi József - Makay Géza - Pintér Klára - Pintér Lajos: Matematikai problémakalauz I., POLYGON Kiadó, Szeged, 1999.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Egyszerű algebrai, ill. egyszerű transzcendens testbővítés, algebrai ill. transzcendens testbővítés.
Végesfokú bővítés, fokszámtétel. Felbontási test, normális testbővítés. Véges testek. Tökéletes testek és végesfokú bővítéseik. Test algebrai lezártja.
Galois-csoport, a Galois-elmélet főtétele. Radikálbővítés. A gyökjelekkel való megoldhatóság jellemzése. Ruffini-Abel-tétel. Gyökjelekkel megoldhatatlan racionális együtthatós algebrai egyenlet létezése.
Algebrai feltétel geometriai alakzat szerkeszthetőségére körzővel és vonalzóval.

Ajánlott irodalom

1. Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, 1985, 1988, JATE Press 1993, 1998.
2. Csákány Béla: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.
3. Czédli Gábor: Szerkeszthetőségi feladatok, JATE Press, 2001.
4. Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Geometriai szerkeszthetőség, Polygon, 1997.
5. Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Elemi térfogalmak. Lineáris függvények, operátorok. Függvény határértéke és folytonossága, pontban, halmazon. Folytonos függvényekre vonatkozó alapvető tételek. Kontrakciók. Operátorok folytonossága, korlátossága. Operátorok terei, ezek tulajdonságai. Banach-Steinhaus tétel. Funkcionálok kiterjesztése. Konjugált tér. Adjungált operátorok Hilbert-terekben. Magasabb rendű konjugált terek.

Ajánlott irodalom

1. Leindler László: A funkcionálanalízis elemei, JATE Kiadó 1988.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Differenciaegyenletekre és parciális differenciálegyenletekre vezető feladatok (pl. a piac közgazdasági modellje, a húr, membrán rezgése, hővezetés). Stabilitáselmélet.

Ajánlott irodalom

1. Hatvani László-Pintér Lajos: Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, 1997.
2. K.K.Ponomarjov, Differenciálegyenletek felállítása és megoldása, Tankönyvkiadó, 1969., M.Braun, Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag, 1975.,
3. H.Kocak, Differential and Difference Equations through Computer Experiment, Springer-Verlag, 1986.,
4. S.Goldberg, Introduction to Difference Equations, Dover Publications, Inc.; New York, 1958.,
5. Simon L., E.A. Baderko, Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Additív halmazfüggvény által indukált külső mérték. Külső mérték által indukált mérték. Mérték kiterjesztése halmazgyűrűről a generált $&92;sigma$-gyűrűre. Borel-mérték és Lebesgue-Stieltjes-mérték $R^k$-n. Függvény mérhetősége. Az integrál fogalmának kiépítése, konvergenciatételek. Mérték abszolút folytonossága másik mértékre nézve, Radon-Nikodym tétel. Szinguláris mértékek, Lebesgue-féle felbontás. Véges sok mértéktér szorzata, Fubini tétele.

Ajánlott irodalom

1. Durszt Endre: Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe (JATE Press, 1991.),
2. Paul R. Halmos: Mértékelmélet (Gondolat, 1984).

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A kurzus keretében Pólya György heurisztikus problémamegoldási modelljének Alan H. Schoenfeld által módosított (részletezett) változata alapján zömében középiskolás módszerekkel is megoldható feladatokat, problémákat tárgyalunk az egyes problémamegoldási stratégiáknak, módszereknek megfelelő csoportosításban.
A kurzus célja az egyes stratégiák megismertetésével a problémamegoldási készség fejlesztése.
5. Vegyük az extremális elemet!
6. Vizsgáljuk a változásokat, keressünk megfelelő függvényt!
7. Keressünk invariánst!
8. Alkalmazzuk a skatulyaelvet!
9. Alkalmazzunk gráfokat!
10. Számláljuk össze kétféleképpen!
11. Interpretáljuk a problémát! (Formulákhoz keressünk modellt!)

Ajánlott irodalom

1. Arthur Engel: Problem-Solving Strategies, Springer-Verlag, 1998.
2. Loren C. Larson: Problem-Solving Through Problems, Springer-Verlag, 1983.
3. Alan H. Schoenfeld: Problem-Solving in the Mathematics Curriculum, The Mathematical Association of America, 1983.
4. Alan H. Schoenfeld: Mathematical Problem Solving, Academic Press, Inc., 1985.
5. Pólya György magyarul megjelent könyvei
6. Kosztolányi József - Makay Géza - Pintér Klára - Pintér Lajos: Matematikai problémakalauz I., POLYGON Kiadó, Szeged, 1999.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Topológiai alapfogalmak metrikus terek, Banach fixponttétel, véges dimenziós topológikus vektorterek, Borel tétele. Többváltozós differenciálás, Schwarz tétele, többváltzós Taylor formula, implicit függvény tétel. Feltétel nélküli- és feltételes szélsőérték. Differenciálható sokaságok. Mértékelméleti alapfogalmak, Lebesgue-Stieltjes mértékek, Fubini tétel. Hausdorff mértékek, felszín formula, többváltozós helyettesítés. Előjeles mértékek. Differenciál formák, Stokes tétel.

Ajánlott irodalom

1. Stachó László: A többváltozós analízis alapjai (JATE Press)

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Konvex halmazok a síkon és a térben. Helly tétel, Charatheodory tétel, Radon tétel és ezek általánosításai, alkalmazásai. A sík felosztása egyenesekkel, pontrendszer egyeneseinek száma. Alakzatok átdarabolása. Konvex halmazok polaritása. Euler tétele poliéderekre és síkgráfokra. Poliéderek kombinatórikus tipusai, Steinitz tétele. Alakzatok felbontása kisebb átmérőjű részekre. Borsuk probléma. Alakzatok megvilágítása, a Hadwiger sejtés. Poliéderek merevsége, Cauchy tétele. Izoperimetrikus problémák. Legsűrűbb körelhelyezések.

Ajánlott irodalom

1. I.M.Jaglom, V.G.Boltyanszkij: Konvex alakzatok; V.G.Boltyanszkij,
2. I.C.Gohberg: Tételek és feladatok a kombinatorikus geometriából;
3. H.Hadwiger, H.Debrunner: Kombinatorische geometrie in der Ebene.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Elhelyezések és fedések sűrűsége, konvex lemez legsűrűbb elhelyezése és a sík legritkább fedése, rácsszerű elhelyezések és fedések $2$ és több dimenzióban, Fáry tétele, többszörös fedések, Voronoi és Delaunay cellafelbontások, rácsgeometriai alapfogalmak, gömbelhelyezések $3$ dimenzióban, a Kepler probléma, gömbelhelyezések $n$ dimenzióban, Blichfeldt módszere, Minkowski-Hlawka tétel, véges elhelyezési problémák

Ajánlott irodalom

1. J. Pach, P. Agarwal, Combinatorial Geometry, Wiley, 1995.
2. L. Fejes Tóth, Regular Figures, Pergamon Press, 1964.
3. J. Matousek, Lectures on Discrete Geometry, Springer 2002.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Monoton függvény: szakadási helyek száma, tiszta ugrófüggvény létezése. Korlátos változású függvény: Jordan felbontási tétele, a pozitív és negatív változásfüggvény folytonossági helyei.
Monoton függvény differenciálhatósága: Riesz Frigyes lemmája és Lebesgue tétele. Példa seholsem differenciálható folytonos függvényre.
Fubini tétele monoton függvények sorának tagonkénti differenciálásáról. Korlátos változású függvény teljes változásfüggvényének differenciálhányadosa. Integrálfüggvény teljes változásfüggvénye és differenciálhányadosa.
Példa szigorúan monoton növő, folytonos függvényre, amelynek differenciálhányadosa majdnem mindenütt 0. Integrálfüggvény jellemzése: abszolút folytonos függvény. Monoton függvény kanonikus felbontása.
Riemann-Stieltjes integrál, parciális integrálás, visszavezetés Lebesgue integrálra. Korlátos változású függvény által indukált véges Borel mérték. Lebesgue-Stieltjes integrál.

Ajánlott irodalom

1. Paul R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat Kiadó (Budapest, 1984),
2. Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó (Budapest).

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Minden euklideszi szerkesztés elvégezhető csak körzővel; csak vonalzós szerkesztések projektív geometriai tételek segítségével; Euler tétele; kúpszeletsorok, Poncelet tétele; komplex számok alkalmazása a geometriában, a Napóleon-Barlotti tétel affin-szabályos sokszögekről; Erdős-Mordell egyenlőtlenség; Euler poliédertételének különböző általanosításai.

Ajánlott irodalom

1. Reiman I.: A geometria és határterületei, Gondolat Kiadó, Budapest 1986;
2. H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer:Az újra felfedezett geometria, Gondolat Kiadó, Budapest 1977.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Holomorf függvények $H^p$ terei és Nevanlinna osztályok a komplex egységkörben. Harmonikus függvények $h^p$ terei. $h^1$-beli függvény jellemzése Poisson-Stieltjes integrállal és peremfüggvényének létezése.
A komplex logaritmus függvény holomorf értelmezése. A Jensen- és Poisson-Jensen formulák. Holomorf függvény zérushelyeinek eloszlása.
Blaschke szorzatok, Riesz Frigyes és Nevanlinna faktorizációs tételei. Belső függvény faktorizációja.
$N$-beli függvény peremfüggvényének létezése. A peremfüggvényhez integrálközépben való konvergencia. $H^1$-beli függvény jellemzése Poisson integrállal. A Riesz-fivérek tétele. Külső függvény egzisztenciája, kanonikus faktorizáció.
A $H^p$ terek teljessége és jellemzésük approximációs tulajdonsággal.

Ajánlott irodalom

1. P. Duren: Theory of $H^p$ spaces, Academic Press (New York - London, 1970),
2. J. Garnett: Bounded analytic functions, Academic Press (San Diego, 1981),
3. P. Koosis: Introduction to $H^p$ spaces (Cambridge, 1980).

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A sajátérték feladat: Mátrixok ortogonális triangularizációja és hasonlósági transzformációja felső Hessenberg alakra. Az LR algoritmus és módosítása, a QR algoritmus: konvergencia és műveletigény. Az inverz hatványiteráció.
A Moore-Penrose általánosított inverz mátrix: Számítására rang-faktorizációval, particionálással és ortogonális triangularizációval. Lineáris egyenletrendszerek vizsgálata az együtthatómátrix általánosított inverzének segítségével: a normál megoldás egzisztenciája és unicitása.
Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldása: Sturm módszere polinomok összes valós gyökének közelítésére. Lehmer-Schur módszere polinomok összes komplex gyökének közelítésére. A többváltozós Newton-Raphson módszer. Bairstow módszere. Kontrakciós operátorok Caccioppoli-Banach fixpont tétele.
Függvények feltétel nélküli minimalizálása: Lejtő módszerek. Vonalmenti minimum keresése, aranymetszés. Lineáris egyenletrendszerek megoldása gradiens módszerrel és konjugált gradiens módszerrel.
Függvények közelítései: Interpoláció algebrai polinomokkal, trigonometrikus polinomokkal és köbös spline-okkal. Periodikus függvények közelítése a legkisebb négyzetek módszerével. Gyors Fourier transzformáció.

Ajánlott irodalom

1. Móricz Ferenc, Numerikus módszerek az algebrában és az analízisben, Polygon Jegyzettár (Szeged, 1997).

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Tapasztalati eloszlás, tapasztalati eloszlásfüggvény és az ezekre alapozott becslések. A glivenko-Cantelli tétel. Elégségesség, a Fisher-Neyman faktorizációs tétel. Exponenciális családok. fisher információ, együttes Fisher információ, statisztikák információja, információ és paramétercsere. Pontbecslések elmélete: elégségesség, torzítatlanság, konzisztencia, megengedhetőség, minimaxitás. A Rao-Blackwell tétel.
Teljesség. A Cramér-Rao egyenlőtlenség, hatásosság.
Becslési módszerek: a momentum módszer, a minimális távolságok módszere, a maximum likelihood módszer. A maximum likelihood becslések aszimptotikus tulajdonságai: konzisztencia, aszimptotikus normalitás és hatásosság.
Bayes-becslések: megengedhetőség, minimax tulajdonság, torzítatlanság. Konfidencia intervallumok szerkesztése egzakt és aszimptotikus módszerekkel. A nemparaméteres statisztika elemei: sűrűség- és regressziófüggvények hisztogram és magfüggvény típusú becslései. Konzisztencia, torzítás, aszimptotikus hatásosság, sávszélesség. Rangstatisztikák. Tiszta és összetett illeszkedésvizsgálatok, függetlenségi próbák. Az eloszlásfüggvény becslése cenzúrázott minta alapján: Kaplan-Meier becslés, Cox-regresszió. Kontingencia táblák elemzése: a log-lineáris modell. Újramintavételezési módszerek, a "jackknife" és "bootstrap" eljárások.
Becslési módszerek: a momentum módszer, a minimális távolságok módszere, a maximum likelihood módszer. a maximum likelihood becslések aszimptotikus tulajdonságai: konzisztencia, aszimptotikus normalitás és hatásosság.
Bayes-becslések:

Ajánlott irodalom

1. Vincze István: Matematikai statisztika ipari alkalmazásokkal, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1968.
2. Móri F.-Szeidl L.-Zemplényi A.: Matematikai statisztika példatár, Budapest, ELTE Eötvös K., 1997.
3. Prékopa A.: Valószínűségelmélet műszaki alkalmazásokkal, Budapest, Műszaki Kiadó, 1972.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Véges állapotterű diszkrét idejű Markov-láncok, állapotok osztályozása, Markov tétele és általánosítása a periodikus esetre. Diszkrét idejű megszámlálható állapotterű Markov-láncok, a rekurrencia feltétele, a rekurrens eseményekre vonatkozó határeloszlás tétel. Az egyszerű szimmetrikus bolyongás és a diszkrét Laplace egyenlet kapcsolata. Pólya tétele a bolyongások rekurrenciájáról. A potenciálelmélet elemei. Folytonos idejű megszámlálható állapotterű Markov-láncok és kapcsolatuk a Poisson pontfolyamattal. Kolmogorov egyenletei.
Születési és halálozási folyamatok; alkalmazás sorbanállási feladatokra. Martingálok és szemimartingálok, a Doob-egyenlőtlenség. A martingál konvergencia-tétel.

Ajánlott irodalom

1. W. Feller, Bevezetés a Valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, Műszaki Könyvkiadó, 1978.
2. S. Karlin, H.M. Taylor, Stochasztikus folyamatok, Gondolat 1985.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Diffúziós folyamatok, Kolmogorov egyenletei. A Markov-félcsoportok általános elmélete: a Hille-Yosida tétel.
Feynman-Kac formula. Az ergodelmélet elemei: ergodikus tételek, diszkrét spektrumú transzformációk. A sztochasztikus integrál fogalma. Ito integrál, Ito-formula. Sztochasztikus differenciálegyenletek, explicit módon megoldható egyenletek. A Gauss-Markov-folyamat, a Brown-mozgás dinamikai magyarázata. Az Ornstein-Uhlenbeck folyamat. A folytonos függvények terén értelmezett mértékek gyenge konvergenciája. A véletlen mezők elméletének elemei: A Gibbs-állapot és a fázisátalakulás fogalma. Az Ising modell.

Ajánlott irodalom

1. I.I. Gikhman, A.V. Szkorokhod, Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, 1975.
2. L. Arnold, Sztochasztikus differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1984.
3. W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Application, Vol. II. Wiley & Sons, 1966.
4. Ya.G. Sinai: Theory of Phase Transitions: Rigorous Results, Akadémiai Kiadó, 1982.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Topológiák lokális és globális megadási módjai, bázis, szubbázis, környezetbázis, lezárási operátor, Moore Smith konvergencia, konvergenciaosztályok. Altér, szorzattér, faktortér, folytonosság. Metrikus terek, fixponttételek, teljes térbe való beágyazás, Baire kategória tétel. Reguláris, normális terek, Uriszon tétel, Tietze tétel. Kompaktság, lokális kompaktság, parakompatság Tyihonov szorzattétele. Metrizálhatósági tételek. Kompaktifikációk, Alexandrov és Stone-Chech kompaktifikációk. Függvényterek topológiája, a Stone-Weierstrass approximációs tétel. Dimenziófogalom, invariancia.

Ajánlott irodalom

1. H. Schubert, Topológia, Műszaki Könyvkiadó, 1986.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Matematika-fizika szakos tanároknak 5., matematika-kémia szakos tanároknak 7. félévben.

Tematika

Gráfelméleti alapfogalmak. Összefüggőség, fák, komponenesek. Séta, vonal, út, Euler-vonal, Hamilton-kör, Dirac-tétel. Irányított gráfok. Kétszeresen összefüggő gráfok, fülfelbontások. Párosítások, Kőnig-tétel, magyar módszer. Színezések, kromatikus szám, mohó színezések, Brooks-tétel, Kempe-láncok, síkgráfok színezése. Független ponthalmazok, klikkek, mohó algoritmus független ponthalmaz keresése, Turán-tétel, extremális gráfelmélet, Ramsey-tétel, alkalmazások.

Ajánlott irodalom

1. Hajnal Péter: Gráfelmélet, Polygon jegyzettár, Szeged, 1997.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Összeszámlálások alapproblémája. Részhalmazok, binomiális együtthatók, binomiális tétel, multihalmazok. Sorbaállítások, inverziók. Átrendezések, első fajú Stirling-számok.
Osztályozások, másod fajú Stirling-számok, Bell-számok. Generátorfüggvények. Megfordítási képletek. Számok partíciói, Euler-tétele. Leképezések összeszámlálása. Szita, Möbius-féle megfordítási képlet. Lineáris rekurziók. Catalan-számok.

Ajánlott irodalom

1. Hajnal Péter: Összeszámlális problémák, Polygon jegyzettár, Szeged, 1997.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Kezdetiérték-probléma megoldásának létezése és egyértelműsége: Picard-Lindelöf tétel. A megoldások folytathatósága.
Geometriai jelentés, magasabb rendű differenciálegyenletek. A legegyszerűbb integrálható típusú egyenletek, integráló tényező. Homogén és inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek. Konstans együtthatós differenciálegyenlet-rendszerek, magasabb rendű egyenletek konstans együtthatókkal. Autonóm rendszerek trajektóriái. Stabilitási alapfogalmak. Lineáris rendszerek stabilitása. Nemlineáris rendszerek stabilitása: Ljapunov tételek. Stabilitásvizsgálat első közelítés alapján: linearizálás. LaSalle-féle invariancia kritérium.

Ajánlott irodalom

1. V.J. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1987
2. Terjéki József: Közönséges differenciálegyenletek.
3. L.Sz. Pontrjagin: Közönséges differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, 1970.
4. K.K. Ponomarjov: Differenciálegyenletek felállítása és megoldása, Tankönyvkiadó, 1969.
5. Hatvani László, Krisztin Tibor, Makay Géza: Dinamikus modellek a közgazdaságban, Polygon (2001).

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Síkon: Sűrűség és mérték ponthalmazokon, egyenesek, pontpárok és egyenespárok halmazain. Elemi integrálformulák hosszra, területre, szögekre (Crofton stb.) Kinematikus mérték, mérték szakaszok halmazain, rektifikálható görbék, Poincare-formula, Blaschke alapformulája, izoperimetrikus egyenlőtlenség, Hadwiger feltétel, parkettázások. Ugyanezek a térben görbült felületeken, különös figyelemmel a konstans görbületűekre.
Matematikai alakfelismerés síkon és térben.

Ajánlott irodalom

1. L.A. Santaló: Integral Geometry and Geometric Probability
2. R.I. Gardner: Geometric Tomography

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval, főelemkiválasztás. Mátrixok invertálása Jordan eliminációval és particionálással. Mátrixok trianguláris- és Cholesky felbontása.
A sajátérték feladat. Mátrixok unitér hasonlósági transzformációja trianguláris alakra, főtengelytétel és Gersgorin körtétele. A hatvány- és inverz hatvány iteráció. Az $LR$- és $R^HR$ algoritmus. Vektor- és mátrixnormák. Mátrixsorozatok és sorok konvergenciája. Lineáris egyenletrendszerek megoldása iterációval: a Jacobi- és Gauss-Seidel iteráció, overrelaxáció.
Polinomok gyökeinek korlátai. A Newton-Raphson módszer. Kontrakciós leképezések fixpont tétele.
Függvények közelítése interpolációval: Lagrange-, Newton- és Hermite interpolációs formulái. Függvények közelítése a legkisebb négyzetek módszerével.
Numerikus integrálás: Newton-Cotes és Gauss típusú kvadratúraformulák. Ortogonális polinomrendszerek. Kvadratúraformulák sorozatának konvergenciája.

Ajánlott irodalom

1. Móricz Ferenc: Numerikus analízis I. és II. kötet, Tankönyvkiadó (Budapest),
2. Móricz Ferenc: Numerikus módszerek az algebrában és analízisben, Polygon Jegyzettár (Szeged, 1997),
3. A. Ralston: Bevezetés a numerikus analízisbe, Műszaki Könyvkiadó (Budapest, 1969).

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai és karakterisztikus polinomja. Sajátaltér.
Euklideszi terek, Schwarz-egyenlőtlenség, ortogonális vektorrendszerek. Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció. Ortonormált bázis, euklideszi terek izomorfizmusa. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Önadjungált és ortogonális leképezések, ortogonális mátrixok. Spektráltétel és következményei kvadratikus alakokra és szimmetrikus mátrixokra.
Unitér terek. Ortonormált bázis, unitér terek izomorfizmusa. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Normális és unitér leképezések, unitér mátrixok. Spektráltétel.
Polinommátrixok ekvivalenciája és kanonikus alakja. Hasonló mátrixok. Lineáris transzformációk és mátrixok minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel. Mátrixok Jordan-féle normálalakja. A Jordan-féle normálalak kiszámítása.

Ajánlott irodalom

1. D. K. Fagyejev, I. S. Szominszkij: Felsőbb algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973, Typotex, 2000.
2. Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998.
3. A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, 1967.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A matematikai fizika modellegyenleteire kitűzött kezdeti érték-problémák egzisztencia, unicitás és stabilitás-vizsgálatai (húrrezgés, hővezetés, Laplace egyenlet és transzformáltjaik) korlátos ill. nemkorlátos "idő"-változó esetén. Cauchy problémák analitikus megoldásai, "kezdeti érték"-feltételek nem karakterisztikus állású felületeken.
Félvégtelen ill. véges húrok rezgései (reflexiós módszer, Fourier módszer, a Duhamel elv). Membránok rezgései. Többdimenziós alakzatok rezgései, hullámterjedés páros és páratlan térdimenziókban; a leereszkedés módszere; a megoldások simasági vizsgálata.
Hővezetési és diffúziós problémák. Maximum-minimum elv általános lineáris és nemlineáris parabolikus egyenletekre. Forrásfüggvény és szerepe a hővezetés egyenletére kitűzött Cauchy probléma megoldásának előállításában; a Poisson integrál, hőpotenciálok. A megoldások simaság vizsgálata. Hővezetési és diffúziós problémák megoldása a Fourier módszerrel.
Stacionárius hőeloszlás, a Laplace egyenlet és alapmegoldása. Harmónikus, szuper és szubharmónikus függvények. A Green-függvény. Harmónikus függvény belső pontban felvett értéke és peremértékei közötti kapcsolat. A belső Dirichlet probléma megoldása tetszőleges dimenziós gömbben (a Poisson formula). Harnach tételei, a Harnach egyenlőtlenség, a Liouville tétel; harmónikus függvények sorozatai. A külső és belső Dirichlet és Neumann problémák unicitás-vizsgálata.
A gyakorlatokon az előadáshoz kapcsolódó példák megoldásával foglalkozunk - főleg a Fourier módszerrel.

Ajánlott irodalom

1. Petrovszkij I.G.: Előadások a parciális differenciálegyenletekről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955;
2. Vlagyimirov V.Sz.: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979;
3. Tyihonov A.N., Szamarszkij A.A.: A matematikai fizika differenciálegyenletei, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956;
4. Simon L., E.A. Baderko: Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.
5. Vlagyimirov V.Sz.: Parciális differenciálegyenletek. Feladatgyűjtemény, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Véges valószínűségi mezők. A pénzdobálási model, Jacob Bernoulli nagy-szám törvénye.
A normális integrál, a gamma függvény, a Stirling formula, de Moivre lokális centrális határeloszlás tétele, a de Moivre-Laplace tétel. A mértékelmélet és az absztrakt integrálelmélet áttekintése; szorzatterek véges és megszámlálhatóan végtelen sok komponenssel. A valószínűségelmélet Kolmogorov-féle megalapozása, mértékek $&92;sigma$-additivitása és folytonossága. Véletlen változók és véletlen vektorváltozók eloszlása és eloszlásfüggvénye, mérhető terek véletlen elemei, sztochasztikus folyamatok és eloszlásuk, Kolmogorov egzisztenciatétele. Abszolut folytonos eloszlások és sűrűségfüggvényeik, szinguláris eloszlások, Lebesgue dekompozíció.
Események, eseményosztályok és véletlen változók függetlensége, függetlenség véges dimenzióban eloszlás és sűrűségfüggvények segítségével. A Kolmogorov-féle $0-1$ törvény és következményei. Várható érték, szórás, momentumok, kvatilisek. Sztochasztikus, majdnem biztos és $L_p$-konvergencia. A nagy számok gyenge és erős törvényei: Kolmogorov tétele a nem egyforma eloszlású esetben, Etemadi tétele. Felújítási folyamatok, az elemi felújítási tétel. Független véletlen változók végelen sorainak konvergenciája: Lévy tétele és a Kolmogorov-féle három-sor tétel.

Ajánlott irodalom

1. Tandori K., Valószínűségszámítás (JATE jegyzet)
2. Rényi A., Valószínűségszámítás (Tankönyvkiadó)
3. W. Feller, Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba (Műszaki Könyvkiadó)
4. Prékopa A., Valószínűségelmélet (Műszaki Könyvkiadó)
5. Bognár-Mogyoródi-Prékopa-Rényi, Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény (Tankönyvkiadó)

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

A komputer algebrai rendszerek története, fajtái. Műveletek egész, racionális, valós, ill. komplex számokkal. Kifejezések, függvények, függvényábrázolás. Egyenletek, egyenletrendszerek pontos, ill. közelítő megoldása. Egyéb adattípusok: karakterlánc, szorzat, lista, halmaz. Egyszerű MAPLE programok: elágazások, eljárások. Lineáris algebrai problémák megoldása: vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek. Számelméleti problémák megoldása. Kalkulus: formális differenciálás, határozatlan és határozott integrálás. Differenciálegyenletek megoldása és ábrázolása. Geometria: sík- és térbeli ábrázolások, animációk. Kombinatorikai és gráfelméleti problémák kezelése. Algebrai struktúrák definiálása. Valószínűségszámítási és statisztikai lehetőségek. Egyéb érdekességek, példák (Galois-csoportok, relativitáselmélet, stb.).

Ajánlott irodalom

1. A. Heck: Bevezetés a Maple használatába, JGYTF Kiadó, 1999.
2. Klincsik Mihály, Maróti György: Maple 8 tételben. A matematikai problémamegoldás művészetéről, Novodat, 1995.

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Mértékek gyenge konvergenciája. Szekvenciális kompaktság és feszesség. Eloszlásbeli konvergencia, Szluckij lemmája. Karakterisztikus függvények és tulajdonságaik: inverziós formulák, unicitástétel, momentumok és sorfejtés, a Lévy-Cramér folytonossági tétel, nevezetes eloszlások karakterisztikus függvényei, a Cramér-Wold lemma. A centrális határeloszlás-tétel: Lévy és Ljapunov tételei, a Lindeberg-Feller tétel.
Kovariancia és korrelációmátrix. A többdimenziós normális eloszlás. Többdimenziós centrális határeloszlás-tételek. Az extrémumelmélet elemei: maximumok határeloszlásának típusai. A Poisson-folyamat karakterizációja a felújítási folyamatok között.
Mintafolytonos sztochasztikus folyamatok konstrukciója: Kolmogorov általános elegendő feltétele, mintafolytonos Gauss-folyamatok. A Wiener-folyamat és a belőle származtatott folyamatok; differenciálhatatlanság és a trajektóriák egyéb tulajdonságai. Az iterált logaritmustétel. A feltételes valószínűség és várható érték általános fogalma és tulajdonságaik: Jensen-egyenlőtlenség, konvergencia-tételek.
Martingálok, a martingál centrális határeloszlás-tétel.

Ajánlott irodalom

1. Tandori K., Valószínűségszámítás (JATE jegyzet)
2. Rényi A., Valószínűségszámítás (Tankönyvkiadó)
3. W. Feller, Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba (Műszaki Könyvkiadó)
4. Prékopa A., Valószínűségelmélet (Műszaki Könyvkiadó)
5. Bognár-Mogyoródi-Prékopa-Rényi, Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény (Tankönyvkiadó)

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Hilbert térbeli operátorok; szorzás-, integrál- és eltolás-operátorok.
Adjungálás; normális, önadjungált és unitér operátorok.
Ortogonális projekciók.
A kompakt operátorok kétoldali ideálja.
Banach algebrák, a spektrum fogalma és tulajdonságai, spektrálsugár.
A Riesz--Dunford-féle függvénykalkulus.
Operátor sajátértékei és approximatív sajátértékei.
Kompakt operátor spektruma.
Gyenge és gyenge-$*$ topológiák, a Banach--Alaoglu tétel.
Kommutatív Banach algebra spektruma, a Gelfand transzformáció.
$C^*$-algebrák, a Gelfand--Najmark tétel.
Függvénykalkulus $C^*$-algebra normális elemére, pozitív elem négyzetgyöke.
Az erős és a gyenge operátor-topológiák.
A spektrálmérték fogalma, a spektrálmérték szerinti integrálás.
Függvényalgebra reprezentációjának spektrálintegrállal való előállítása.
A spektráltétel normális operátorra.

Ajánlott irodalom

1. Kérchy László: Hilbert terek operátorai, Polygon, Szeged, 2003.
2. Riesz Frigyes-Szőkefalvi-Nagy Béla: Funkcionálanalízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Matematika-informatika tanárszakon 6. félévben.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Matematika-kémia szakos tanároknak 6. félévben.

Tematika

Ítéletkalkulus, Boole függvények, teljes függvényrendszerek, normálformák, logikai áramkörök, digitális hálózatok. Az ítéletkalkulus teljességi tétele. Nyelvek és struktúrák. Formulák és kielégíthetőség, következmény fogalma. Teljességi és nemteljességi tétel (megemlítve).

Ajánlott irodalom

1. Csirmaz László, Matematikai Logika, Tankönyvkiadó, 1994.
2. Kalmár László, A Matematika Alapjai I-II. kötet, JATE jegyzet, Tankönyvkiadó, 1977.
3. Urbán János, Matematikai Logika, példatár, Műszaki Könyvkiadó, 1987.
4. Totik Vilmos, Matematikai Logika, vázlat. [A tematika többé-kevésbé megfelel [4] első négy fejezetének, illetve a [3] könyv feladatainak.]

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Ekvivalencia és számosság fogalma. Megszámlálható és kontinuum számosságú halmazok.
Számosságok összehasonlítása, ekvivalencia-tétel, műveletek halmazokkal és számosságokkal.
Rendezett halmazok és rendtípusok. Jólrendezett halmazok és rendszámok. Műveletek rendszámokkal. Transzfinit indukció és rekurzió. A kiválasztási axióma és ekvivalensei, jólrendezési tétel. Számosságoperáció. Számosságok tulajdonságai. Kofinalitás, a hatványfüggvény tulajdonságai.

Ajánlott irodalom

1. Hajnal András és Hamburger Péter, Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983. [A tematika többé-kevésbé megfelel a tankönyvben az I. résznek.]

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Véges halmaz permutációi.
A csoportok ekvivalens definíciói, az asszociativitás és az invertálhatóság következményei; nevezetes példák. A részcsoport, izomorfizmus, homomorfizmus fogalma és alapvető tulajdonságai, példák. Cayley tétele. Hatványozás csoportban, az elemrend definíciója és tulajdonságai. Generátorrendszer, ciklikus csoportok.
Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange tétele. Normálosztó, normálosztó szerinti mellékosztályozás, faktorcsoport, csoportelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek. Faktorcsoport részcsoportjai.
Egyszerű csoportok, az alternáló csoportok egyszerűsége.
Csoportok direkt szorzata, direkt fölbontása; a véges Abel-csoportok alaptétele.
Konjugáltsági reláció, osztályegyenlet. Véges csoportok, Sylow-tételek, kis elemszámú csoportok.
Feloldható csoportok, részcsoportjaik és faktorcsoportjaik.

Ajánlott irodalom

1. Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, 1985, 1988, JATE Press, 1993, 1998.
2. Csákány Béla: Algebra, JATE jegyzet, Tankönyvkiadó, 1973.
3. Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.
4. Schmidt Tamás: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.

Matematikai Tanszékcsoport

Matematikai Tanszékcsoport

Tematika

Síkbeli konvex alakzatok; Helly tétele és alkalmazásai.
Kombinatorikus geometriai problémák. Elemi topológiai feladatok.
Kombinatorika: Permutációk, variációk, kombinációk. Binomiális tétel; Pascal-háromszög. A skatulya-elv. A logikai szita formula. Az invariáns módszer alkalmazásai. Partíciós problémák. Sakktáblával kapcsolatos feladatok. Különböző típusú, színezéssel kapcsolatos feladatok.
Gráfelméleti alapfogalmak. Egyszerű gráfok. Összefüggő gráfok. Fák, erdők. Többszörös élű gráfok. Euler-vonal, Hamilton-kör. Síkban rajzolható gráfok. Páros gráfok; házasítási probléma. Turán-típusú tételek. Ramsey tétele. Irányított gráfok.

Ajánlott irodalom

1. Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából (spec. mat. tankönyv);
2. Reiman István: A geometria és határterületei;
3. Boltyanszkij-Jefremovics: Szemléletes topológia,;
4. W.G. Chinn - N.E. Steenrod: Bevezetés a topológiába;
5. Andrásfai Béla: Vonalak és felületek topológiája;
6. Andrásfai Béla: Ismerkedés a gráfelmélettel;
7. Andrásfai Béla: Gráfelmélet;
8. N.J. Vilenkin: Kombinatorika;
9. Lovász - Vesztergombi - Pelikán: Kombinatorika;
10. Matematika a matematikai osztályok számára III.;
11. J.J. Gik: Sakk és matematika;
12. Pólya György: A gondolkodás iskolája,
13. Pólya György: A problémamegoldás iskolája I-II.,
14. Pólya György: A matematikai gondolkodás művészete I-II.,
15. Hajós - Neukom - Surányi: Matematikai versenytételek I-III.,
16. Molnár Emil: Matematikai versenyfeladatok gyűjteménye 1947-1970.,
17. Középiskolai matematika versenyek kötetei,
18. Elemi matematika I-V. (ELTE jegyzet),
19. Róka Sándor: 1000 feladat az elemi matematika köréből,
20. Lukács - Scharnitzky: Érdekes matematikai gyakorló feladatok I-VII.,
21. Reiman István: Nemzetközi matematikai diákolimpiák,
22. Pogáts Ferenc: A Varga Tamás Matematikai Versenyek feladatai,
23. R. Szendrei Julianna: Szakközépiskolai versenyek matematikafeladatai mindenkinek,
24. Bonifert Domonkos: Néhány tipikus problémaszituáció matematikából,
25. Rácz János - Bogdán Zoltán: Matematika feladatok-ötletek-megoldások I-II.
26. Kosztolányi - Mike - Vincze: Érdekes matematikai feladatok,
27. Kosztolányi - Makay - Pintér - Pintér: Matematikai problémakalauz I., POLYGON Kiadó, Szeged, 1999.
28. Folyóiratok: KöMaL, A Matematika Tanítása, Polygon, KVANT, Matematika v skole, Mathematics Teacher, The American Mathematical Monthly, Mathematics Magazine