Egy régi játék. Fodor Ferenc konvex mértani testeknek a közelítését szereti vizsgálni. Fotó: Frank Yvette

Mekkorák a megszáradt sárdarabok, és hogyan alakulnak ki? – teheti föl magának a kérdést a Tisza árterében sétáló, ahogy a folyó visszavonulása után megszáradt partoldalt figyeli. Ilyen véletlenszerűen létrejött struktúra például a megszáradt és lepattogzó festék, a betört szélvédő darabjai is. De hasonló problémakörhöz tartozik a kristályok növekedése vagy a posztóban a gyapjúszálak elhelyezkedése is. Az így létrejött sokszög alakú testek, illetve a véletlenszerűen kialakult hálózatok keltették föl Fodor Ferenc matematikus érdeklődését is. Az SZTE Bolyai Intézete Geometriai Tanszékének egyetemi docense a véletlenekkel foglalkozó sztochasztikus geometria mellett konvex és diszkrét geometriával is foglalkozik. Ez utóbbi két tudományterületről elmondta: a konvex testek alapvető tulajdonságaival foglalkozik a konvex geometria – síkban, térben és magasabb dimenzióban. Jelentősége például az optimalizációs problémákban mutatkozik meg. A diszkrét geometria a különböző konvex testek elhelyezéséről, illetve az azokkal kapcsolatos fedések kérdéskörével foglalkozik.

– A sztochasztikus, vagyis valószínűségszámításra épülő geometria modelljei hasznosak a természetben előforduló jelenségek megértéséhez. Ilyen modellek például a síknak és a térnek véletlen cellafelbontásai vagy a mértani testekbe írt poliéderek – magyarázza Fodor Ferenc. – Ez utóbbi esetben modellezésünk pontossága például függ attól, hogy a közelítésre használt sokszöglapú testnek hány csúcsa van. Minél több pontot adunk meg, így minél több csúcsot használunk, annál finomabb lesz a testfelület megközelítése. A matematikai kérdés az, hogy ha van adott mennyiségű csúcsom, akkor azzal mennyire pontosan tudom megközelíteni a mértani test felületét. Véletlenszerűen is választhat pontokat a test felületén vagy belsejében a tudós. Ekkor annak meghatározása a feladvány, hogy a véletlen pontok által meghatározott sokszöglapú testek várhatóan mennyire finoman közelítik meg az eredeti mértani test formáját. Ez utóbbi eset hasonlít több természetben lejátszódó folyamathoz.

Fodor Ferenc konvex testeknek a közelítését, approximációját vizsgálja. Egyrészt determinisztikus modellben, vagyis amikor szabadon megválaszthatja az adott mértani test formájának közelítéshez használt poliéder csúcsait, s arra kíváncsi, hogy ha a legoptimálisabban helyezi el mondjuk a 100 csúcsot, akkor mennyire jól adható vissza a mértani test formája. Másrészt arra keresi a választ, hogy ha véletlenszerűen választ csúcsokat poliédereihez, akkor várhatóan mennyire lesz majd pontos az adott mértani test modellje. Az első esetben geometria és analízis ötvözete adja a megoldást, míg a véletlenszerűséget középpontba állító problémafölvetés megoldásához valószínűségszámítás is kell az analízisbeli eszközök használata mellett.

– A szimuláció, vagyis a számítógépen lefuttatott program néha segít a megértésben, különösen mivel a formulák jellege olyan, hogy minél több pontot használunk, annál pontosabbak. Megesett már velem, hogy megdöbbentem, mert a szimuláció eredménye teljesen váratlan volt. Ilyenkor leginkább az izgat – vallja be Fodor Ferenc –, hogy miért is történik ez a váratlan jelenség.

Fodor Ferencnek és társszerzőinek legutóbbi, a Londoni Matematikai Társaság folyóiratában publikált dolgozatában olyan általános tételt sikerült bebizonyítani, amely az összes konvex test beírt poliéderekkel való közelítésére érvényes. Az általa kidolgozott formula aszimptotikus jellegű, ami azt jelenti, hogy százalékos értelemben annál pontosabb eredményt ad, minél nagyobb a pontok száma. Azaz, ha azt kell megmondani, hogy 100 ponttal mennyire lehet egy testfelületet közelíteni, azt kevésbé pontosan lehet megbecsülni, mintha 1000 pontot használunk.

– Cikket írunk egy budapesti és egy német kollégával együtt: magas dimenziós konvex testek közelítését vizsgáljuk olyan poliéderekkel, amiknek a csúcsait a test határáról választjuk valamely valószínűségi eloszlás szerint – beszél mostani munkájáról a szegedi matematikus. – A közelítés jóságára akarunk kidolgozni olyan formulát, amely aszimptotikusan pontos. Korábban is léteztek már ilyenek, de csak speciális testosztályokra. A mi aszimptotikus formulánk érvényes lesz a legtöbb konvex testre.

Golyók a tányérban

A legtöbb hivatkozást arra a cikkére kapta Fodor Ferenc, amelyben azt mutatta meg, hogy 19 egységsugarú kör hogyan helyezhető el a lehető legkisebb sugarú körben. Az írás a matematikusokon, fizikusokon és mérnökökön kívül még a művészettörténészek érdeklődését is felkeltette – a magdeburgi dómbeli I. Ottó császár szobra miatt. Ott ugyanis a császár kezében egy tányér, benne 19 egyforma golyó, de – Fodor Ferenc cikke óta tudott, hogy – nem az optimális elrendezésben. A mérnöki érdeklődést az ilyen problémák megoldása iránt pedig az magyarázza, hogy a mobilok működéséhez elengedhetetlen átjátszótornyok elhelyezésekor is figyelni kell az optimális elrendezésre.

Matematikai tulajdonságok

Egy test akkor konvex, ha bármely két pontja közötti szakasz is a test része. Konvex tehát például a gömb, de nem konvex a tórusz. Ez utóbbi mértani test például az úszógumi is. A poliéder egy olyan térbeli test, amelyet minden oldalról síklapok határolnak. Poliéder például a kocka.

Kepler-sejtés

A diszkrét geometria nem középiskolai tananyag, de az érdeklődőknek jól elmagyarázható, hogy mivel foglalkozik, olyan klasszikus példákkal, mint a körelhelyezési probléma, vagy a Kepler-sejtés. Johannes Kepler 1611-ben vetette föl: egyforma tömör gömbökkel milyen sűrűn lehet kitölteni a háromdimenziós teret? Kepler sejtése az volt, hogy a legnagyobb sűrűséget ugyanaz az elrendezés adja, mint amit a zöldségesnél gúlába rakott narancsok is alkotnak. Ám Kepler sejtésének bizonyítására 1998-ig kellett várni, amikor Thomas Hales amerikai matematikus számítógép segítségével igazolta – tudtuk meg Fodor tanár úrtól. A számítógépes program több mint egy évig futott, aztán még közel hat évig tartott, mire a szakmai lektorok elfogadták a bizonyítás helyességét. E bizonyítás jelentőségét mutatja, hogy az erről szóló hír a New York Timesban is megjelent.

Újszászi Iliona

forrás: delmagyar.hu